teori binomial

TEORI BINOMIAL

           

Teorema binomial memberikan cara untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (a + b)ⁿ, yang dalam hal ini, n adalah bilangan bulat positif. Cara ini digunakan sebagai alternatif bagi penggunaan segitiga pascal, yaitu :

(a + b)⁰ = 1                                                                                          1

(a + b)¹ = a + b                                                                                 1    1

(a + b)² = a² + 2ab + b²                                                                    1     2     1

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3 ab² + b³                                               1     3     3      1

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b⁴                                 1      4     6      4      1  

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10 a²b³ + 5 ab⁴ + b⁵         1      5    10    10    5       1

Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (a + b )ⁿ adalah :

1.    Suku pertama adalah aⁿ, sedangkan suku terakhir adalah bⁿ.

2.    Pada setiap suku berikutnya, pangkat a berkurang satu sedangkan pangkat b bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat a dan b adalah n.

3.    Koefisien untuk a^n-kb^k, yaitu suku ke-(k + 1) adalah C(n, k). bilangan C(n, k) disebut koefisien binomial.

Dari aturan diatas dapat disimpulkan bahwa:

 ( a  b)ⁿ =  aⁿ    a^n-1 b¹    a^n-2 b²  …    a^n-r b^r …

                 a^n-n bⁿ  =  a^n-kb^k

Untuk pangkat 5, Anda masih dapat menjabarkannya. Bagaimana menjabarkan (a + b)¹⁵? Ada metode lain yang lebih mudah untuk menyelesaikan  koefisien binomial yaitu dengan menggunakan  rumus umum bentuk perpangkatan atau disebut dengan kombinasi.

       

                   _nC_r =

Dengan metode kombinasi dapat ditulis sebagai berikut:

(x + y)¹ ® n = 1                                          ₁C_{0    1}C₁

(x + y )² ® n = 2                                      ₂C_{0                    2}C_{1       2}C₂

(x + y)³ ® n = 3                                  ₃C_{0    3}C_{1     3}C_{2      3}C₃

(x + y)⁴ ® n = 4                            ₄C_{0    4}C_{1     4}C_{2      4}C_{3     4}C₄

(x + y)⁵ ® n = 5                      ₅C_{0     5}C_{1     5}C_{2     5}C_{3      5}C_{4      5}C₅

 

maka (x + y)ⁿ = _nC₀ xⁿ y⁰ + _nC₁ x^n-1 y¹ +  + _nC_n x⁰ yⁿ

                       = _nC₀ xⁿ . 1 + _nC₁ x^n-1 y¹ +  + _nC_n . 1 yⁿ

                                   = _nC₀ xⁿ + _nC₁ x^n-1 y¹ +  + _nC_n yⁿ

                     (x + y)ⁿ = _nC_k x^n-k y^k

jadi, koefisien dapat dicari menggunakan rumus

 

                        (x + y)ⁿ = _nC_k x^n-k y^k

Contoh soal

1.      Buktikan bahwa   = n?

2.      Tentukan nilai n jika _{n + 1}P₃ =  ?

3.      Berapa hasil dari (a + b)⁴?

4.      Berapa hasil dari (1 -  2p²)⁵ ?

Jawab:

1.       = n!

    = n

               n = n  [terbukti]

2.      _{n + 1}P₃=

   =

   =

 (n + 1) . n . (n – 1) = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3)

                      n + 1 = n² – 5n + 6

            n² – 6n + 5 = 0

        (n – 5) (n – 1) = 0

        n₁ = 5   n₂ = 1

3.      (a +b)⁴ =  a⁴ b⁰ +  a^4-1 b¹ +  a^4-2 b² +  a^4-3 b³ +  a^4-4 b⁴

                   = 1. a⁴ + 4. a³ b¹ + 6. a² b² + 4. a¹ b³ +1. b⁴

                   = a⁴ + 4a³ b¹ + 6a² b² + 4a b³ + b⁴

4.      (1 – 2p²)⁵ =  1⁵ (-2p²)⁰ +  1^5-1 (-2p²)¹ +  1^5-2 (-2p²)² +  1^5-3

                                 (-2p²)³ +  1^5-4 (-2p²)⁴ +  1^5-5 (-2p²)⁵

                                         = 1. 1⁵ (-2p⁰) + 5. 1⁴ (-2p²) + 10. 1³ (-2p⁴) + 10. 1² (-2p⁶) + 5. 1¹

                                             (2p⁸) + 1. 1⁰ (-2p¹⁰)

                 = 1 . 1 . 1 + 5 . 1 . 4p² + 10 . 1 . 16p⁴ + 10 . 1 . 64p⁶ + 5 . 1 . 256p⁸ +

                                1. 1. 1024p¹⁰

                 = 1 + 20p² +160p⁴ + 640p⁶ + 1280p⁸ + 1024p¹⁰

1.      Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x² + 2y)⁵.

2.      Hitunglah nilai n dari persamaan berikut:

a.    (n + 4)! = 9(n + 3)!

b.    (n + 3)! = 20(n + 1)!