sigma

1.2  Notasi Sigma

            Notasi sigma yang dilambangkan dengan “ “ merupakan huruf Yunani yang artinya jumlah. Notasi ini diperkenalkan oleh ahli Matematika Yunani, Diophantus, pada abad ke-3. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan suku-suku suatu deret bilangan yang mempunyai pola tertentu.

 

k = batas atas

n = batas bawah

Langkah – langkah menentukan penjumlahan beruntun menjadi notasi sigma sebagai berikut.

a.    Mencari batas bawah dan batas atas.

b.    Mencari rumus suku umum (suku ke-n) dari suatu penjumlahan.

Sifat – sifat yang berlaku pada notasi sigma sebagai berikut.

a.       Sifat – sifat notasi sigma untuk variabel tak berindeks

1)       =

2)       = (n – m +1)c ; c konstanta

3)      = c  ; c konstanta

4)       =  ; p bilangan bulat

5)       +  =  ; m  n

6)       = s

b.      Sifat – sifat notasi sigma untuk variabel berindeks

1)         =

2)         = c  ; c konstanta

3)         =    

4)         =  ; p bilangan bulat

5)         +  =  ; m  n

6)         =   ; s = 1, 2, 3, , n

Contoh:

1.    Bagaimana cara membaca notasi matematika dibawah ini

a.     P = {^x|x   , x  1}

b.    P = {^x|x   , 1  x  100}

c.    P = {^x|x   , 0  x  101}

Penyelesaian

a.    P = {^x|x   , x  1}

(cara baca: himpunan P adalah x sedemikian rupa sehingga x termasuk anggota bilangan asli, maka x lebih dari sama dengan 1) 

b.    P = {^x|x   , 1  x  100}

(cara baca: himpunan P adalah x sedemikian rupa sehingga x termasuk anggota bilangan asli, maka x lebih dari sama dengan 1, kurang dari sama dengan 100) 

Jadi, P = {1, 2, 3, …, 100}

c.    P = {^x|x   , 0  x  101}

(cara baca: himpunan P adalah x sedemikian rupa sehingga x termasuk anggota bilangan asli, maka x lebih dari 0, kurang dari 101) 

     Jadi, P = {1, 2, 3, …, 100}

2.    Nyatakan penjumlahan beruntun berikut dengan notasi sigma.

a.       1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

b.      1 + 4 + 9 + 16 + 25

c.       9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9

d.      xⁿ + xⁿ⁺¹y + xⁿ⁺²y² + xⁿ⁺³y³ +  + x²ⁿyⁿ

Penyelesaian

a.    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 merupakan deret aritmatika yang terdiri atas 7 suku dengan a = 1 dan b = 2.

Rumus suku ke-n:

Un = a + (n – 1)b

      = 1 + (n – 1)2

      = 1 + 2n – 2

      = 2n – 1

Batas bawah = 1.

Deret tersebut terdiri atas 7 suku maka batas atas = 7.

Jadi, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = .

b.    1 + 4 + 9 + 16 + 25 merupak penjumlahan beruntun dari kuadrat lima bilangan asli pertama. Rumus suku ke-n adalah U_n = n².

Batas bawah = 1.

Batas atas = 5.

Jadi, 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = .

c.    9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 merupakan penjumlahan konstanta 9 sebanyak 11 suku.

Jadi, 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 =

d.   xⁿ + xⁿ⁺¹y + xⁿ⁺²y² + xⁿ⁺³y³ +  + x²ⁿyⁿ  = xⁿ⁺⁰  y⁰ + xⁿ⁺¹  y¹ + xⁿ⁺²  y² + xⁿ⁺³  y³ +  + xⁿ  yⁿ

Rumus suku ke-k adalah Uk = x^n+k  y^k .

Suku pertama = xⁿ.

         xⁿ = x^{n +k}  y^k

         xⁿ = xⁿ  x^k  y^k

    (xy)^k = 1

          k = 0  sebagai batas bawah

Suku terakhir = xⁿ⁺ⁿ  yⁿ

      xⁿ⁺ⁿ  yⁿ = x^{n+ k}  y^k

   xⁿ  xⁿ  yⁿ = xⁿ  x^k  y^k

         (xy)ⁿ = (xy)^k

               k = n  sebagai batas atas.

Jadi, xⁿ + xⁿ⁺¹y + xⁿ⁺²y² + xⁿ⁺³y³ +  + x²ⁿyⁿ =

1.      Berapakah nilai x agar  = 85 ?

2.      , penjumlahan beruntunya adalah

3.      n +  + , bentuk lain notasi sigmanya adalah

4.      Notasi sigma yang menyatakan penjumlahan kuadrat 8 bilangan asli pertama adalah

5.       =  

6.      Diketahui jumlah dari notasi sigma berikut.

 

Jika 0  x   , tentukan nilai tan x.