teori binomial

TEORI BINOMIAL

           

Teorema binomial memberikan cara untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (a + b)ⁿ, yang dalam hal ini, n adalah bilangan bulat positif. Cara ini digunakan sebagai alternatif bagi penggunaan segitiga pascal, yaitu :

(a + b)⁰ = 1                                                                                          1

(a + b)¹ = a + b                                                                                 1    1

(a + b)² = a² + 2ab + b²                                                                    1     2     1

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3 ab² + b³                                               1     3     3      1

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b⁴                                 1      4     6      4      1  

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10 a²b³ + 5 ab⁴ + b⁵         1      5    10    10    5       1

Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (a + b )ⁿ adalah :

1.    Suku pertama adalah aⁿ, sedangkan suku terakhir adalah bⁿ.

2.    Pada setiap suku berikutnya, pangkat a berkurang satu sedangkan pangkat b bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat a dan b adalah n.

3.    Koefisien untuk a^n-kb^k, yaitu suku ke-(k + 1) adalah C(n, k). bilangan C(n, k) disebut koefisien binomial.

Dari aturan diatas dapat disimpulkan bahwa:

 ( a  b)ⁿ =  aⁿ    a^n-1 b¹    a^n-2 b²  …    a^n-r b^r …

                 a^n-n bⁿ  =  a^n-kb^k

Untuk pangkat 5, Anda masih dapat menjabarkannya. Bagaimana menjabarkan (a + b)¹⁵? Ada metode lain yang lebih mudah untuk menyelesaikan  koefisien binomial yaitu dengan menggunakan  rumus umum bentuk perpangkatan atau disebut dengan kombinasi.

       

                   _nC_r =

Dengan metode kombinasi dapat ditulis sebagai berikut:

(x + y)¹ ® n = 1                                          ₁C_{0    1}C₁

(x + y )² ® n = 2                                      ₂C_{0                    2}C_{1       2}C₂

(x + y)³ ® n = 3                                  ₃C_{0    3}C_{1     3}C_{2      3}C₃

(x + y)⁴ ® n = 4                            ₄C_{0    4}C_{1     4}C_{2      4}C_{3     4}C₄

(x + y)⁵ ® n = 5                      ₅C_{0     5}C_{1     5}C_{2     5}C_{3      5}C_{4      5}C₅

 

maka (x + y)ⁿ = _nC₀ xⁿ y⁰ + _nC₁ x^n-1 y¹ +  + _nC_n x⁰ yⁿ

                       = _nC₀ xⁿ . 1 + _nC₁ x^n-1 y¹ +  + _nC_n . 1 yⁿ

                                   = _nC₀ xⁿ + _nC₁ x^n-1 y¹ +  + _nC_n yⁿ

                     (x + y)ⁿ = _nC_k x^n-k y^k

jadi, koefisien dapat dicari menggunakan rumus

 

                        (x + y)ⁿ = _nC_k x^n-k y^k

Contoh soal

1.      Buktikan bahwa   = n?

2.      Tentukan nilai n jika _{n + 1}P₃ =  ?

3.      Berapa hasil dari (a + b)⁴?

4.      Berapa hasil dari (1 -  2p²)⁵ ?

Jawab:

1.       = n!

    = n

               n = n  [terbukti]

2.      _{n + 1}P₃=

   =

   =

 (n + 1) . n . (n – 1) = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3)

                      n + 1 = n² – 5n + 6

            n² – 6n + 5 = 0

        (n – 5) (n – 1) = 0

        n₁ = 5   n₂ = 1

3.      (a +b)⁴ =  a⁴ b⁰ +  a^4-1 b¹ +  a^4-2 b² +  a^4-3 b³ +  a^4-4 b⁴

                   = 1. a⁴ + 4. a³ b¹ + 6. a² b² + 4. a¹ b³ +1. b⁴

                   = a⁴ + 4a³ b¹ + 6a² b² + 4a b³ + b⁴

4.      (1 – 2p²)⁵ =  1⁵ (-2p²)⁰ +  1^5-1 (-2p²)¹ +  1^5-2 (-2p²)² +  1^5-3

                                 (-2p²)³ +  1^5-4 (-2p²)⁴ +  1^5-5 (-2p²)⁵

                                         = 1. 1⁵ (-2p⁰) + 5. 1⁴ (-2p²) + 10. 1³ (-2p⁴) + 10. 1² (-2p⁶) + 5. 1¹

                                             (2p⁸) + 1. 1⁰ (-2p¹⁰)

                 = 1 . 1 . 1 + 5 . 1 . 4p² + 10 . 1 . 16p⁴ + 10 . 1 . 64p⁶ + 5 . 1 . 256p⁸ +

                                1. 1. 1024p¹⁰

                 = 1 + 20p² +160p⁴ + 640p⁶ + 1280p⁸ + 1024p¹⁰

1.      Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x² + 2y)⁵.

2.      Hitunglah nilai n dari persamaan berikut:

a.    (n + 4)! = 9(n + 3)!

b.    (n + 3)! = 20(n + 1)!

sigma

1.2  Notasi Sigma

            Notasi sigma yang dilambangkan dengan “ “ merupakan huruf Yunani yang artinya jumlah. Notasi ini diperkenalkan oleh ahli Matematika Yunani, Diophantus, pada abad ke-3. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan suku-suku suatu deret bilangan yang mempunyai pola tertentu.

 

k = batas atas

n = batas bawah

Langkah – langkah menentukan penjumlahan beruntun menjadi notasi sigma sebagai berikut.

a.    Mencari batas bawah dan batas atas.

b.    Mencari rumus suku umum (suku ke-n) dari suatu penjumlahan.

Sifat – sifat yang berlaku pada notasi sigma sebagai berikut.

a.       Sifat – sifat notasi sigma untuk variabel tak berindeks

1)       =

2)       = (n – m +1)c ; c konstanta

3)      = c  ; c konstanta

4)       =  ; p bilangan bulat

5)       +  =  ; m  n

6)       = s

b.      Sifat – sifat notasi sigma untuk variabel berindeks

1)         =

2)         = c  ; c konstanta

3)         =    

4)         =  ; p bilangan bulat

5)         +  =  ; m  n

6)         =   ; s = 1, 2, 3, , n

Contoh:

1.    Bagaimana cara membaca notasi matematika dibawah ini

a.     P = {^x|x   , x  1}

b.    P = {^x|x   , 1  x  100}

c.    P = {^x|x   , 0  x  101}

Penyelesaian

a.    P = {^x|x   , x  1}

(cara baca: himpunan P adalah x sedemikian rupa sehingga x termasuk anggota bilangan asli, maka x lebih dari sama dengan 1) 

b.    P = {^x|x   , 1  x  100}

(cara baca: himpunan P adalah x sedemikian rupa sehingga x termasuk anggota bilangan asli, maka x lebih dari sama dengan 1, kurang dari sama dengan 100) 

Jadi, P = {1, 2, 3, …, 100}

c.    P = {^x|x   , 0  x  101}

(cara baca: himpunan P adalah x sedemikian rupa sehingga x termasuk anggota bilangan asli, maka x lebih dari 0, kurang dari 101) 

     Jadi, P = {1, 2, 3, …, 100}

2.    Nyatakan penjumlahan beruntun berikut dengan notasi sigma.

a.       1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

b.      1 + 4 + 9 + 16 + 25

c.       9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9

d.      xⁿ + xⁿ⁺¹y + xⁿ⁺²y² + xⁿ⁺³y³ +  + x²ⁿyⁿ

Penyelesaian

a.    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 merupakan deret aritmatika yang terdiri atas 7 suku dengan a = 1 dan b = 2.

Rumus suku ke-n:

Un = a + (n – 1)b

      = 1 + (n – 1)2

      = 1 + 2n – 2

      = 2n – 1

Batas bawah = 1.

Deret tersebut terdiri atas 7 suku maka batas atas = 7.

Jadi, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = .

b.    1 + 4 + 9 + 16 + 25 merupak penjumlahan beruntun dari kuadrat lima bilangan asli pertama. Rumus suku ke-n adalah U_n = n².

Batas bawah = 1.

Batas atas = 5.

Jadi, 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = .

c.    9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 merupakan penjumlahan konstanta 9 sebanyak 11 suku.

Jadi, 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 =

d.   xⁿ + xⁿ⁺¹y + xⁿ⁺²y² + xⁿ⁺³y³ +  + x²ⁿyⁿ  = xⁿ⁺⁰  y⁰ + xⁿ⁺¹  y¹ + xⁿ⁺²  y² + xⁿ⁺³  y³ +  + xⁿ  yⁿ

Rumus suku ke-k adalah Uk = x^n+k  y^k .

Suku pertama = xⁿ.

         xⁿ = x^{n +k}  y^k

         xⁿ = xⁿ  x^k  y^k

    (xy)^k = 1

          k = 0  sebagai batas bawah

Suku terakhir = xⁿ⁺ⁿ  yⁿ

      xⁿ⁺ⁿ  yⁿ = x^{n+ k}  y^k

   xⁿ  xⁿ  yⁿ = xⁿ  x^k  y^k

         (xy)ⁿ = (xy)^k

               k = n  sebagai batas atas.

Jadi, xⁿ + xⁿ⁺¹y + xⁿ⁺²y² + xⁿ⁺³y³ +  + x²ⁿyⁿ =

1.      Berapakah nilai x agar  = 85 ?

2.      , penjumlahan beruntunya adalah

3.      n +  + , bentuk lain notasi sigmanya adalah

4.      Notasi sigma yang menyatakan penjumlahan kuadrat 8 bilangan asli pertama adalah

5.       =  

6.      Diketahui jumlah dari notasi sigma berikut.

 

Jika 0  x   , tentukan nilai tan x.